1792年 ~ 1799年

高斯在哥廷根大学学习期间，对数论进行了深入研究，并于1801年出版了《算术研究》。这部著作系统化、扩展了数论，引入了同余理论，并首次证明了二次互反律。高斯在书中引入了同余符号“≡”，这一符号沿用至今。据资料显示，高斯对《算术研究》极为重视，甚至称其为“珍宝”。该书的出版标志着数论从一系列孤立的结果转变为系统化的学科，对后世数学家如狄利克雷、黎曼等产生了深远影响。有观点认为，高斯在书中对二次互反律的证明是其数论研究中最杰出的成就之一，尽管他本人后来给出了多个更简洁的证明。

1795年 ~ 1799年

高斯在哥廷根大学期间重新发现了最小二乘法。该方法最初由勒让德于1805年独立发表，但高斯声称自己更早使用它来计算谷神星的轨道。最小二乘法用于处理观测数据中的误差，通过最小化误差平方和来估计参数。据资料显示，高斯在1809年的《天体运动论》中详细阐述了这一方法，并将其应用于天文学。最小二乘法的应用范围从天文观测扩展到大地测量、经济学和统计学，成为数据处理的基础工具。有观点认为，高斯的贡献在于为该方法提供了概率论基础，将其与正态分布（高斯分布）联系起来。

1796年 ~ 约1815年

高斯在数论领域取得多项突破性成果。1796年，他证明了任何正整数可以表示为至多三个三角形数之和，并在日记中写下“EYPHKA! num=Δ+Δ+Δ”。同年，他发现了正十七边形的尺规作图法，并决定投身数学研究。1801年，高斯在《算术研究》中系统阐述了模运算和二次型理论。据资料显示，高斯还提出了“素数定理”的猜想，描述了素数分布规律，但未给出证明，后由阿达马和普森在1896年独立证明。高斯的数论工作为代数数论的发展奠定了基础，影响了库默尔、戴德金等数学家。有观点认为，高斯对数论的高度重视反映了他对数学纯粹性的追求。

1801年 ~ 约1809年

高斯在天文学领域取得重大成就。1801年，意大利天文学家皮亚齐发现谷神星，但很快丢失其轨迹。高斯利用自己发展的轨道计算方法（基于最小二乘法和牛顿力学），成功预测了谷神星的位置，使其被重新发现。这一计算基于极少的观测数据，展示了高斯在数学和天文学上的卓越能力。据资料显示，高斯在这一过程中改进了轨道计算中的摄动理论。1809年，他出版了《天体运动论》，系统阐述了天体轨道计算的理论基础，包括二体问题的解法和摄动处理。这项工作巩固了高斯作为杰出天文学家的声誉，并导致他被任命为哥廷根天文台台长。

约1818年 ~ 1848年

高斯受汉诺威政府委托，主持汉诺威王国的大地测量工作。他发展了测地学的数学理论，包括提出了高斯投影（一种等角地图投影法），并引入了“高斯曲率”概念来描述曲面内在几何性质。在实地测量中，高斯发明了日光反射仪（heliotrope），利用镜子反射阳光进行长距离测量，提高了测量精度。据资料显示，这一经历直接启发了他对微分几何的深入研究。1827年，高斯发表了《关于曲面的一般研究》，提出了“绝妙定理”（Theorema Egregium），证明曲率是曲面的内蕴性质，不依赖于嵌入空间。这项工作为黎曼几何的发展奠定了基础，并间接影响了爱因斯坦的广义相对论。

1820年 ~ 约1845年

高斯与威廉·韦伯合作，在电磁学领域做出开创性贡献。他们共同发明了电磁电报机（1833年），在哥廷根物理研究所与天文台之间建立了约1.2公里的电报线路，实现了世界上第一个可靠的电报系统。据资料显示，该系统使用正负电流脉冲编码字母，并配备了同步装置。此外，高斯在1832年提出了绝对单位制（CGS制）中的磁学单位，与韦伯共同建立了地磁观测网络，发明了磁强计和双线磁力仪。高斯还 formulated 了高斯定律，描述了电场通过封闭曲面的通量与内部电荷的关系。这些工作为麦克斯韦电磁理论的发展提供了重要基础。有观点认为，高斯对物理学的贡献体现了他将数学应用于自然现象的卓越能力。

1831年 ~ 约1840年

高斯在概率论和统计学领域做出基础性贡献。他发展了误差理论，并引入了高斯分布（正态分布）。在分析天文观测数据时，高斯发现许多随机误差遵循钟形曲线分布，并推导了其概率密度函数。据资料显示，虽然拉普拉斯等数学家也独立研究过该分布，但高斯的工作使其在科学界广为人知，故常被称为“高斯分布”。高斯还发展了最大似然估计方法，用于参数估计。这些统计方法不仅应用于天文学，还扩展到物理学、社会科学和工程学中，成为现代统计学的基石。有观点认为，高斯对误差理论的研究反映了他对精确性和数据处理的深刻理解，这在他早期的天文学和大地测量工作中已有所体现。